Para otros usos de este término, véase
Seno .
En
matemáticas , el
seno es una
función continua y
2 π {\displaystyle 2\pi } periódica , y además una
función trascendente . Su nombre se abrevia
sen .
[ 1] [ 2] [ 3]
sen x = − sen ( − x ) {\displaystyle \operatorname {sen} \;x=-\operatorname {sen}(-x)} sen x = − sen ( x + π ) {\displaystyle \operatorname {sen} \;x=-\operatorname {sen}(x+\pi )}
La función seno es:
función impar y
función periódica .
En
trigonometría , el
seno de un
ángulo α {\displaystyle \alpha \,} en un
triángulo rectángulo de ángulo
α {\displaystyle \alpha \,} se define como la razón entre el
cateto opuesto al ángulo y la
hipotenusa :
sen α = a c {\displaystyle \operatorname {sen} \alpha ={\frac {a}{c}}}
O también como la ordenada correspondiente a un punto que pertenece a una
circunferencia unitaria centrada en el origen (c=1):
sen α = a {\displaystyle \operatorname {sen} \alpha =a\,}
El astrónomo y matemático hindú
Aria Bhatta (476–550 d. C.]]) estudió el concepto de «seno» con el nombre de
ardhá-jya ,
[ 4] siendo
ardhá: ‘mitad, medio’, y
jya: ‘cuerda’). Cuando los escritores árabes tradujeron estas obras científicas al
árabe , se referían a este término sánscrito como
jiba . Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término quedó abreviado
jb . Escritores posteriores que no sabían el origen extranjero de la palabra creyeron que
jb era la abreviatura de
jiab (que quiere decir ‘bahía’).
A finales del siglo XII, el traductor italiano
Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos del árabe al latín reemplazando el insensato
jiab por su contraparte latina
sinus (‘hueco, cavidad, bahía’). Luego, ese
sinus se convirtió en el español «seno».
[ 5]
Según otra explicación,
[cita requerida la
cuerda de un círculo, se denomina en latín
inscripta corda o simplemente
inscripta . La mitad de dicha cuerda se llama
semis inscríptae . Su abreviatura era
s. ins. , que terminó simplificada como
sins . Para asemejarla a una palabra conocida del latín se la denominó
sinus .
Relaciones trigonométricas [ editar ]
El seno puede relacionarse con otras
funciones trigonométricas mediante el uso de
identidades trigonométricas .
[ Expandir ] sen α = sen ( α + k 2 π ) , k ∈ Z {\displaystyle \operatorname {sen} \;\alpha =\;\;\;\operatorname {sen} \;(\alpha +k2\pi ),\;\;k\in \mathbb {Z} } Por inducción ya que aplicando un número par de veces sen α = − sen ( α + π ) {\displaystyle \operatorname {sen} \;\alpha =-\operatorname {sen}(\alpha +\pi )}
Relación entre el seno y el coseno [ editar ]
La curva del
coseno es la curva del seno desplazada
π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:
sen α = cos ( α − π 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen} \alpha =\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)}
Seno de la suma de dos ángulos [ editar ]
[ Expandir ] sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\alpha +\beta \right)=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta +\cos \alpha \operatorname {sen} \beta } sen ( α − β ) = sen α cos β − cos α sen β {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\alpha -\beta \right)=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta -\cos \alpha \operatorname {sen} \beta } La demostración está en la sección de identidades trigonométricas .
Seno del ángulo doble [ editar ]
[ Expandir ] sen ( 2 α ) = 2 sen α cos α {\displaystyle \operatorname {sen} \left(2\alpha \right)=2\operatorname {sen} \alpha \cos \alpha } Como:
sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β {\displaystyle \operatorname {sen} \left(\alpha +\beta \right)=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta +\cos \alpha \operatorname {sen} \beta } β = α {\displaystyle \beta =\alpha \,}
Seno del ángulo mitad [ editar ]
[ Expandir ] sen ( α 2 ) = { 1 − cos α 2 si α 2 ∈ [ 2 k π , ( 2 k + 1 ) π ) − 1 − cos α 2 si α 2 ∈ [ ( 2 k + 1 ) π , 2 ( k + 1 ) π ) , p a r a k ∈ Z {\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [2k\pi ,(2k+1)\pi )\\-{\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [(2k+1)\pi ,2(k+1)\pi )\end{cases}}\;,\;\;para\;k\in \mathbb {Z} } Usando las fórmulas:
sen 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,} cos ( 2 θ ) = cos 2 θ − sen 2 θ {\displaystyle \cos \left(2\theta \right)=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta } cos ( 2 θ ) = 1 − 2 sen 2 θ {\displaystyle \cos \left(2\theta \right)=1-2\operatorname {sen} ^{2}\theta }
Representación de
y = 1 − cos ( 2 x ) 2 . {\displaystyle y\;=\;{\sqrt {\frac {1-\cos(2x)}{2}}}.}
y aislando sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta } | sen θ | = 1 − cos ( 2 θ ) 2 {\displaystyle \vert \operatorname {sen} \theta \vert ={\sqrt {\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}}} θ = α 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\alpha }{2}}} 0 < sen α 2 si α 2 ∈ [ 0 , π ) + 2 k π , {\displaystyle 0<\operatorname {sen} {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [0,\,\pi )+2k\pi ,} 0 > sen α 2 si α 2 ∈ [ π , 2 π ) + 2 k π {\displaystyle 0>\operatorname {sen} {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [\pi ,\,2\pi )+2k\pi } k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
Suma de senos como producto [ editar ]
[ Expandir ] sen a + sen b = 2 sen ( a + b 2 ) cos ( a − b 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen} a+\operatorname {sen} b=2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)} sen a − sen b = 2 cos ( a + b 2 ) sen ( a − b 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen} a-\operatorname {sen} b=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)} Usando seno de la suma de dos ángulos y con el cambio a = α + β , b = α − β {\displaystyle a=\alpha +\beta ,b=\alpha -\beta } sen a = sen ( a + b 2 ) cos ( a − b 2 ) + cos ( a + b 2 ) sen ( a − b 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen} a=\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)+\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)} sen b = sen ( a + b 2 ) cos ( a − b 2 ) − cos ( a + b 2 ) sen ( a − b 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen} b=\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)-\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)}
Producto de senos como suma [ editar ]
[ Expandir ] sen ( α ) sen ( β ) = 1 2 ( cos ( α − β ) − cos ( α + β ) ) {\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha )\operatorname {sen}(\beta )={\frac {1}{2}}\left(\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )\right)} sen ( α ) sen ( β ) = sen 2 ( α − β 2 ) − sen 2 ( α + β 2 ) = cos 2 ( α + β 2 ) − cos 2 ( α − β 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha )\operatorname {sen}(\beta )=\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)-\cos ^{2}\left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)} Usando las ecuaciones de coseno de la suma de dos ángulos y restando resulta la primera ecuación, y si a éstas ecuaciones se le aplica la identidad de coseno del ángulo doble resulta la segunda ecuación.
Seno en análisis matemático [ editar ]
La función
seno puede definirse mediante la
ecuación diferencial :
d x / d t = y {\displaystyle dx/dt=y} d y / d t = − x {\displaystyle dy/dt=-x}
si la condición inicial es (0,1) entonces su solución es
x = sen ( t ) {\displaystyle x=\operatorname {sen}(t)} e
y = cos ( t ) {\displaystyle y=\cos(t)} .
Derivada del seno [ editar ]
sen ′ x = cos x {\displaystyle \operatorname {sen} 'x=\cos x\,}
Observación: sen ′ x = sen ( x + π 2 ) {\displaystyle \operatorname {sen} 'x=\operatorname {sen}(x+{\frac {\pi }{2}})}
Como serie de Taylor [ editar ]
El seno como
Serie de Taylor en torno a
a = 0 es:
sen x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \operatorname {sen} x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots +(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} sen x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \operatorname {sen} x=\sum _{n=0}^{\infty }\;(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
En el plano complejo [ editar ]
En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:
[ Expandir ] sen ( z ) = e i z − e − i z 2 i {\displaystyle {\operatorname {sen} }\ (z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}} Dada la fórmula de Euler:
e i z = cos ( z ) + i sen ( z ) {\displaystyle e^{iz}={\cos }\ (z)+i{\operatorname {sen} }\ (z)} e {\displaystyle e} base del logaritmo natural , e i {\displaystyle i} unidad de los números imaginarios.e − i z {\displaystyle e^{-iz}} e − i z = cos ( − z ) + i sen ( − z = {\displaystyle e^{-iz}={\cos }\ (-z)+i{\operatorname {sen} }\ (-z=} cos ( z ) − i sen ( z ) {\displaystyle {\cos }\ (z)-i{\operatorname {sen} }\ (z)} e i z − e − i z = 2 i sen ( z ) {\displaystyle e^{iz}-e^{-iz}=2i{\operatorname {sen} }\ (z)}
El seno en programación [ editar ]
Gran parte de los lenguajes de programación tienen la función seno en sus librerías, en caso de necesitar el seno de unos cuantos valores enteros es normal recurrir a vectores, eliminando así las llamadas a funciones frecuentemente lentas como el seno. Hay lenguajes en los que el ángulo recibido por la función es convertido a
radianes .
Algunas
calculadoras aceptan el valor en
grado sexagesimal , centesimales o radianes, es una opción activable mediante el teclado:
Ejemplos:
Seno de 45 grados = 0,7071 Seno de 45 radianes = 0,8509.
Obsérvese que la diferencia entre ambos valores resultantes podría pasar desapercibida. Es necesario, entonces, pasar los grados a radianes o viceversa. Nótese que el símbolo
π es el
número Pi . Ejemplo de conversiones:
Rad = Deg * π/180 Deg = Rad * 180/π.
La comprobación del modo en curso de una calculadora se hace con valores conocidos:
π {\displaystyle \pi } y 90º:
sen π = 0 {\displaystyle \operatorname {sen} \pi =0} sen 90 = 1 {\displaystyle \operatorname {sen} 90=1}
Representación gráfica [ editar ]
Véase también [ editar ]
Referencias [ editar ]
Volver arriba ↑Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Diccionario esencial de las ciencias . ISBN 84-239-7921-0 Volver arriba ↑A. Bouvier y M. George. Diccionario de Matemáticas . AKAL. ISBN 84-7339-706-1 Volver arriba ↑Equipo editorial. Enciclopedia didáctica de matemáticas . OCEANO. ISBN 84-494-0696-X Volver arriba ↑En el sitio Centros5.Pntic.Mec.es se refieren erróneamente a yia como 'yivá , que no significa ‘cuerda’ sino ‘ser vivo’. Volver arriba ↑Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th Edition, p.237) . Saunders College Publishing House, New York.
Enlaces externos [ editar ]
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