Derivación (matemática)

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a: navegación, búsqueda

Para la derivación en cálculo, véase Derivada.

Para la técnica de análisis numérico, véase Derivación numérica.

La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.
Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Índice

 [ocultar] 

• 1 Definición de derivación
• 2 Ejemplos de derivación
  • 2.1 La derivada parcial
  • 2.2 La derivada direccional
• 3 Derivación en variedades
• 4 Consecuencias
  • 4.1 Propiedad de la derivación de una función localmente constante
    • 4.1.1 Ejemplo
  • 4.2 Propiedad de la derivación del producto con la función meseta
  • 4.3 Propiedad
• 5 Tipos de derivaciones
• 6 Referencias
  • 6.1 Bibliografía

Definición de derivación[editar]

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable y ${\displaystyle p\in M}$, llamaremos derivación en el punto ${\displaystyle p_{}^{}}$ a

${\displaystyle \forall \delta _{p}:{\mathcal {F}}(M)\longrightarrow {}\mathbb {R} }$ aplicación ${\displaystyle \mathbb {R} -}$lineal, es decir:

${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M),\forall \lambda \in \mathbb {R} ,}$

• ${\displaystyle \delta _{p}^{}(g+f)=\delta _{p}(g)+\delta _{p}(f)^{},}$

• ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\lambda f)=\lambda \delta _{p}(f)^{}.}$

y tal que ${\displaystyle \delta _{p}(f\cdot g)=}$${\displaystyle \delta _{p}(f)g_{|p}+f_{|p}\delta _{p}(g),}$ ${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$, es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$ es el conjunto de funciones diferenciables en ${\displaystyle M_{}^{}}$, y es un ${\displaystyle \mathbb {R} -}$álgebra conmutativa, (es un ${\displaystyle \mathbb {R} -}$espacio vectorial).

${\displaystyle f_{|p}^{}}$ es equivalente a ${\displaystyle f(p)_{}^{}}$, es decir, ${\displaystyle f_{}^{}}$ evaluado en el punto ${\displaystyle p_{}^{}.}$

Ejemplos de derivación[editar]

La derivada parcial[editar]

Sea ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle p\in M}$, veamos que la aplicación siguiente es derivación:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial \;\cdot }{\partial x_{i}}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \;.\\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}\end{matrix}}}$

Demostración

Veamos primero que es ${\displaystyle \mathbb {R} -}$lineal, es decir, que ${\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)\;y\;\forall \lambda \in \mathbb {R} }$ vemos que:

• ${\displaystyle {\frac {\partial (f+g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p},}$

• ${\displaystyle {\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x_{i}}}_{|p}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.}$

Veamos finalmente que es una derivación:

${\displaystyle {\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.}$

Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

La derivada direccional[editar]

Sea ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n},\;p\in M\;y\;v\in M:||v||=1}$, de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{matrix}}.}$

Derivación en variedades[editar]

Artículo principal: Aplicación progrediente

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable y ${\displaystyle p\in M}$, llamaremos espacio tangente a ${\displaystyle M_{}^{}}$ en ${\displaystyle p_{}^{}}$ al ${\displaystyle \mathbb {R} -}$espacio vectorial de las derivaciones de ${\displaystyle M_{}^{}}$ en ${\displaystyle p_{}^{}}$, notado por ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}M}$, y sus elementos se llamaran vectores tangentes a ${\displaystyle M_{}^{}}$ en ${\displaystyle p_{}^{}.}$

Consecuencias[editar]

Propiedad de la derivación de una función localmente constante[editar]

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${\displaystyle p\in M}$, ${\displaystyle \forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$ y ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)}$ tal que ${\displaystyle \exists {}U_{}^{}}$ entorno abierto en ${\displaystyle p_{}^{}}$ donde ${\displaystyle f(x)=\lambda }$, ${\displaystyle \forall x\in M}$, entonces tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}f=0.}$

Demostración

Por linealidad de ${\displaystyle \delta _{p}^{}}$ tenemos

${\displaystyle \delta _{p}(f)=\delta _{p}(\lambda )=\delta _{p}(\lambda \cdot 1)=}$ ${\displaystyle \lambda \delta _{p}(1),}$

aquí aplicando la condición de derivación a ${\displaystyle \delta _{p}^{}(1)}$ tenemos

${\displaystyle \delta _{p}(1)=\delta _{p}(1\cdot 1)=}$ ${\displaystyle \delta _{p}(1)1+1\delta _{p}^{}(1)=}$ ${\displaystyle \delta _{p}(1)+\delta _{p}^{}(1),}$

de simplificar, este último, resulta ${\displaystyle \delta _{p}^{}(1)=0}$ aplicadolo al anterior resulta que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=0.}$

Ejemplo[editar]

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$:

• la función meseta ${\displaystyle \rho }$ asociada a ${\displaystyle (p,V)_{}^{}}$, donde ${\displaystyle \rho (x)=1,}$ ${\displaystyle \forall x\in k\subset V,\;k}$ compacto cuyo interior contiene a ${\displaystyle p_{}^{}.}$

Propiedad de la derivación del producto con la función meseta[editar]

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${\displaystyle p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$, ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)}$ y ${\displaystyle \rho }$ una función meseta asociada a ${\displaystyle (p,V)_{}^{}}$, tenemos que:

${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(f).}$

Demostración

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=}$${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho )f(p)+\rho (p)\delta _{p}(f)}$, por la propiedad anterior tenemos que ${\displaystyle \ delta_{p}^{}(\rho \cdot f)=}$${\displaystyle 0\cdot f(p)+1\cdot \delta _{p}^{}(f)=}$${\displaystyle \delta _{p}^{}(f).}$

Propiedad[editar]

Sea ${\displaystyle M_{}^{}}$ una variedad diferenciable, ${\displaystyle p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M}$ y ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(M)}$ tal que ${\displaystyle \exists {}V_{}^{}}$ entorno abierto en ${\displaystyle p_{}^{}}$ donde ${\displaystyle f_{|V}^{}=g_{|V}}$, entonces tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g)}$.

Demostración

Sea ${\displaystyle \rho }$ una función meseta asociada a ${\displaystyle (p,V)_{}^{}}$, tenemos así que ${\displaystyle \rho \cdot f=\rho \cdot g_{}^{}}$ en todo ${\displaystyle M_{}^{}}$ también ${\displaystyle \rho \cdot f,\rho \cdot g\in {\mathcal {F}}(M)}$ por tanto ${\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(\rho \cdot g)}$ y por la propiedad anterior tenemos que ${\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g).}$

Tipos de derivaciones[editar]

En geometría diferencial y cálculo elemental se han definido muchos tipos de operadores que de hecho son derivaciones, entre ellas:

• Derivada de una aplicación entre variedades
• Derivada exterior
• Derivada de Lie
• Derivada covariante
• Diferencial de una función
• Derivada parcial
• Derivada funcional

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

• Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.

Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivación_(matemática)&oldid=93204174»

Categoría:

• Geometría diferencial