En
trigonometría , el
coseno (abreviado
cos ) de un
ángulo agudo en un
triángulo rectángulo se define como la razón entre el
cateto adyacente a dicho ángulo y la
hipotenusa :
cos α = b c {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}
En virtud del
Teorema de Tales , este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una
función del ángulo
α . {\displaystyle \alpha .}
Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la
circunferencia goniométrica , es decir, la
circunferencia unitaria centrada en el
origen . En este caso el valor del coseno coincide con la
abscisa del punto de intersección del ángulo con la
circunferencia . Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.
Cálculo por serie de potencias [ editar ]
En
análisis matemático el coseno es la
función que asocia un
número real x {\displaystyle x} con el valor del coseno del ángulo de amplitud, expresada en
radianes ,
x {\displaystyle x} . Es una
función trascendente y
analítica , cuya expresión en
serie de potencias es:
cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + … + ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + … {\displaystyle \cos x=1-{\cfrac {x^{2}}{2!}}+{\cfrac {x^{4}}{4!}}-{\cfrac {x^{6}}{6!}}+\ldots +(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\ldots }
que en sumatorio seria:
cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }\;(-1)^{n}\;{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
En el plano complejo [ editar ]
En el plano complejo a través de la fórmula de Euler se tiene que:
[ Expandir ] cos ( z ) = e i z + e − i z 2 {\displaystyle {\cos }\ (z)={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}} Dada la fórmula de Euler:
e i z = cos ( z ) + i sen ( z ) {\displaystyle e^{iz}={\cos }\ (z)+i{\operatorname {sen} }\ (z)} e {\displaystyle e} base del logaritmo natural , e i {\displaystyle i} unidad de los números imaginarios.e − i z {\displaystyle e^{-iz}} e − i z = cos ( − z ) + i sen ( − z ) = {\displaystyle e^{-iz}={\cos }\ (-z)+i{\operatorname {sen} }\ (-z)=} cos ( z ) − i sen ( z ) {\displaystyle {\cos }\ (z)-i{\operatorname {sen} }\ (z)} e i z + e − i z = 2 cos ( z ) {\displaystyle e^{iz}+e^{-iz}=2{\cos }\ (z)}
Representación gráfica en la recta [ editar ]
Gráfica de la función coseno, con el eje X expresado en radianes.
Relaciones trigonométricas [ editar ]
El coseno puede relacionarse con otras
funciones trigonométricas mediante el uso de
identidades trigonométricas .
[ Expandir ] cos α = cos ( α + k 2 π ) , k ∈ Z {\displaystyle \cos \;\alpha =\;\;\;\cos \;(\alpha +k2\pi ),\;\;k\in \mathbb {Z} } Por inducción ya que aplicando un número par de veces cos α = − cos ( α + π ) {\displaystyle \cos \;\alpha =-\cos(\alpha +\pi )}
Relación entre el seno y el coseno [ editar ]
La curva del coseno es la curva del
seno desplazada
π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} a la izquierda dando lugar a la siguiente expresión:
cos α = sen ( α + π 2 ) {\displaystyle \cos \alpha =\operatorname {sen} \left(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\right)}
Coseno de la suma de dos ángulos [ editar ]
[ Expandir ] cos ( α + β ) = {\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=} cos α cos β − sen α sen β {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta } cos ( α − β ) = {\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=} cos α cos β + sen α sen β {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta +\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta } La demostración está en la sección de identidades trigonométricas .
Coseno del ángulo doble [ editar ]
[ Expandir ] cos 2 α = cos 2 α − sen 2 α {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\operatorname {sen} ^{2}\alpha } Como:
cos ( α + β ) = {\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=} cos α cos β − sen α sen β {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sen} \alpha \operatorname {sen} \beta } β = α {\displaystyle \beta =\alpha \,}
Coseno del ángulo mitad [ editar ]
[ Expandir ] cos ( α 2 ) = { 1 + cos α 2 si α 2 ∈ [ − π 2 , π 2 ) + 2 k π − 1 + cos α 2 si α 2 ∈ [ π 2 , 3 π 2 ) + 2 k π , p a r a k ∈ Z {\displaystyle \cos {\bigg (}{\frac {\alpha }{2}}{\bigg )}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [-{\frac {\pi }{2}},\,\,{\frac {\pi }{2}}\,)+2k\pi \\-{\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}&{\text{ si }}{\frac {\alpha }{2}}\in [\;\;\;{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {3\pi }{2}})+2k\pi \end{cases}}\;,\;\;para\;k\in \mathbb {Z} } Usando las fórmulas:
sen 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,} cos ( 2 θ ) = cos 2 θ − sen 2 θ {\displaystyle \cos \left(2\theta \right)=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta } cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ − 1 {\displaystyle \cos \left(2\theta \right)=2\cos ^{2}\theta -1}
Representación de
y = 1 + cos ( 2 x ) 2 . {\displaystyle y\;=\;{\sqrt {\frac {1+\cos(2x)}{2}}}.}
y aislando sen θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta } | cos θ | = 1 + cos ( 2 θ ) 2 {\displaystyle \vert \cos \theta \vert ={\sqrt {\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}} θ = α 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\alpha }{2}}} 0 < cos α 2 si α 2 ∈ [ − π 2 , π 2 ) + 2 k π , {\displaystyle 0<\cos {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}})+2k\pi ,} 0 > cos α 2 si α 2 ∈ [ π 2 , 3 π 2 ) + 2 k π {\displaystyle 0>\cos {\frac {\alpha }{2}}\;\;\;\;\;{\text{si}}\;\;\;{\frac {\alpha }{2}}\in [{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {3\pi }{2}})+2k\pi } k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
Suma de funciones como producto [ editar ]
[ Expandir ] cos a + cos b = 2 cos ( a + b 2 ) cos ( a − b 2 ) {\displaystyle \cos a+\cos b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)} cos a − cos b = − 2 sen ( a + b 2 ) sen ( a − b 2 ) {\displaystyle \cos a-\cos b=-2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)} La demostración está en la sección de identidades trigonométricas .
Producto de funciones como suma [ editar ]
cos ( A ) cos ( B ) = cos 2 ( A + B 2 ) − sen 2 ( A − B 2 ) = cos 2 ( A − B 2 ) − sen 2 ( A + B 2 ) {\displaystyle \cos(A)\cos(B)=\cos ^{2}\left({\frac {A+B}{2}}\right)-\;\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {A-B}{2}}\right)=\cos ^{2}\left({\frac {A-B}{2}}\right)-\;\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {A+B}{2}}\right)} cos ( A ) cos ( B ) = 1 2 ( cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ) {\displaystyle \cos(A)\cos(B)={\frac {1}{2}}\left(\cos(A+B)+\cos(A-B)\right)}
Ángulos para los cuales el coseno se conoce con exactitud [ editar ]
Ángulos en Rad (X) Ángulos en Grados (X°) Cos(X) π 6 {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} 30° 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} 45° 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} 60° 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 90° 0 {\displaystyle 0} π {\displaystyle \pi } 180° − 1 {\displaystyle -1} 2 π {\displaystyle 2\pi } 360° 1 {\displaystyle 1}
Tomando los mismos valores para los ángulos con signo opuesto a los ángulos enunciados en la tabla, puesto que el coseno es una
función par .
Derivada del coseno [ editar ]
cos ′ x = − sen x {\displaystyle \cos 'x=-\operatorname {sen} x\,}
Generalizaciones del coseno [ editar ]
Véase también [ editar ]
Enlaces externos [ editar ]
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